2009年5月17日 星期日

離散時間傅立葉轉換

離散時間傅立葉轉換（DTFT，Discrete-time Fourier Transform）是傅立葉轉換的一種。它將以離散時間nT（其中n \in \mathbb{Z}，T為採樣間隔）作為變數的函數（離散時間訊號）f(nT)轉換到連續的頻域，即產生這個離散時間訊號的連續頻譜F(eiω)，值得注意的是這一頻譜是周期的。

定義

記連續時間訊號f(t)的採樣為f_{sp}(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}f(nT)\delta(t-nT)，其。傅立葉轉換為

\mathfrak{F}\{f_{sp}(t)\} = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(t) e^{-i\omega t} \ dt = \int_{-\infty}^{\infty} \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(nT)\delta(t-nT) e^{-i\omega t} \ dt

這就是採樣序列f(nT)的DTFT：

F_{DTFT}(e^{i \omega T}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(nT) \, e^{-in\omega T}

為方便起見，通常將採樣間隔T歸一化，則有

F_{DTFT}(e^{i \omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n) \,e^{-in\omega}
圖1 DTFT頻譜的周期混疊

上式即為f(n)的離散時間傅立葉轉換。它的反轉換為：

f(n) =\frac{1}{2 \pi}\int_{-\pi}^{\pi} F_{DTFT}(e^{i \omega})\,e^{i n \omega} \, d \omega

考慮到DTFT的周期性（參見頻譜周期性 ），它的逆轉換實際上是以周期的連續函數作為輸入，離散的譜作為輸出，這正是傅立葉級數的形式。







頻譜的周期性與混疊

頻譜周期性

FDTFT(eiωT)具有周期性：

F_{DTFT}(e^{i \omega T}) \,\!= F_{DTFT}(e^{i (\omega + 2\pi)T})

證明如下：

F_{DTFT}(e^{i (\omega + 2 \pi)T}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(nT) \,e^{-i n (\omega + 2\pi)T} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(nT) \,e^{-i n \omega T} e^{-i n 2\pi T}

由於e^{i 2 \pi} = \,\!1 （參見複數），上式等價于

\sum_{n=-\infty}^{\infty} f(nT) \,e^{-i nT \omega} 1^{-nT} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(nT) \,e^{-i n \omega T} = F_{DTFT}(e^{i \omega T})

周期性得證。可見，時域的離散對偶于頻域的周期性，這是因為e^{i 2 \pi} = \,\!1。

[編輯]頻譜混疊

根據DTFT的定義，有

F_{DTFT}(e^{i \omega T}) = \int_{-\infty}^{\infty} \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(t)\delta(t-nT) e^{-i\omega t} dt = \frac{1}{2\pi}\sum_{n=-\infty}^{\infty} F(\omega - n \Omega) \ , \mbox{where } F(\omega)=\mathfrak{F}\{f(t)\} \ , \Omega=\frac{2\pi}{T}

即，f(nT)的DTFT是f(t)的傅立葉轉換以Ω為周期的延拓，這也從另一個角度證明了DTFT的周期性。很顯然，如果f(t)的頻譜不帶限於Nyquist間隔（[-Ω/2, Ω/2]），f(nT)的DTFT必然發生混疊（aliasing）,如右圖所示。混疊使得訊號的低頻部分被高頻部分「污染」，造成訊號的失真。為避免這種情況，通常在進行進一步的數位訊號處理之前要對採樣序列進行抗混疊濾波（anti-aliasing filtering），這一處理通常是由低通濾波器除去高分頻量實現的。

DTFT與DFT


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