Gordon Blog: 連續傅立葉轉換

2009年5月17日星期日

連續傅立葉轉換

在數學中，連續傅立葉轉換是一個特殊的把一組函數映射為另一組函數的線性算子。不嚴格地說，傅立葉轉換就是把一個函數分解為組成該函數的連續頻率譜。在數學分析中，訊號 $f (t)$ 的傅立葉轉換被認為是處在頻域中的訊號。這一基本思想類似於其他傅立葉轉換，如周期函數的傅立葉級數。（參見分數階傅立葉轉換得到概況）

假設 $f$ 是一個復勒貝格可積的函數。我們定義其連續傅立葉轉換 $F$ 也是一個複函數:

對任意實數 $ω$ (這裏 $i$ 是虛數單位)，

$F(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty f(t) e^{- i\omega t}\,dt$

$ω$ 為角頻率， $F (ω)$ 為複數，並且是訊號在該頻率成分處的振幅和相位。

傅立葉轉換是自反映射，若 $F (ω)$ 如上定義， $f$ 足夠光滑，則對於任意實數 $t$

$f(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{ i\omega t}\,d\omega$

每個積分前的 $1\over\sqrt{2\pi}$ 為規範化因子。因子的選擇是主觀任意的，只要滿足二者的乘積為 $1 \over {2\pi}$ ，如上取法稱為歸一化常數。另一種常見取法是前向方程和反向方程分別為 $1$ 和 $1 / 2π$ 。粗略估計，數學家通常使用前者（由於對稱的原因），而物理學家和工程師們則常用後者。

另外，傅立葉坐標 $ω$ 有時可用 $2πν$ 來代替，在頻率 $ν$ 上積分，這種情況下，歸一化常數都變為單位 $1$ 。另一個主觀的常規選擇是，不管前向轉換中的指數是 $+ i ω t$ 還是 $- i ω t$ ，只要滿足前向和反向方程中指數符號相反即可。

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