Gordon Blog: 常用傅立葉轉換表

2009年5月17日星期日

常用傅立葉轉換表

函數關係

	時域訊號	角頻率表示的傅立葉轉換	弧頻率表示的傅立葉轉換	註釋
	$g(t)\!\equiv\!$ $\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\!\!G(\omega) e^{i \omega t} d \omega \,$	$G(\omega)\!\equiv\!$ $\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\!\!g(t) e^{-i \omega t} dt \,$	$G(f)\!\equiv$ $\int_{-\infty}^{\infty}\!\!g(t) e^{-i 2\pi f t} dt \,$
1	$a\cdot g(t) + b\cdot h(t)\,$	$a\cdot G(\omega) + b\cdot H(\omega)\,$	$a\cdot G(f) + b\cdot H(f)\,$	線性
2	$g(t - a)\,$	$e^{- i a \omega} G(\omega)\,$	$e^{- i 2\pi a f} G(f)\,$	時域平移
3	$e^{ iat} g(t)\,$	$G(\omega - a)\,$	$G \left(f - \frac{a}{2\pi}\right)\,$	頻域平移, 轉換2的頻域對應
4	$g(a t)\,$	$\frac{1}{\|a\|} G \left( \frac{\omega}{a} \right)\,$	$\frac{1}{\|a\|} G \left( \frac{f}{a} \right)\,$	如果 $\|a\|\,$ 值較大，則 $g(a t)\,$ 會收縮到原點附近，而 $\frac{1}{\|a\|}G \left( \frac{\omega}{a} \right)\,$ 會擴散並變得扁平. 當 $\| a \|$ 趨向無窮時，成為 Delta函數。
5	$G(t)\,$	$g(-\omega)\,$	$g(-f)\,$	傅立葉轉換的二元性性質。通過交換時域變數 $t \,$ 和頻域變數 $\omega \,$ 得到.
6	$\frac{d^n g(t)}{dt^n}\,$	$(i\omega)^n G(\omega)\,$	$(i 2\pi f)^n G(f)\,$	傅立葉轉換的微分性質
7	$t^n g(t)\,$	$i^n \frac{d^n G(\omega)}{d\omega^n}\,$	$\left (\frac{i}{2\pi}\right)^n \frac{d^n G(f)}{df^n}\,$	轉換6的頻域對應
8	$(g * h)(t)\,$	$\sqrt{2\pi} G(\omega) H(\omega)\,$	$G(f) H(f)\,$	$g * h\,$ 表示 $g\,$ 和 $h\,$ 的摺積 — 這就是摺積定理
9	$g(t) h(t)\,$	$(G * H)(\omega) \over \sqrt{2\pi}\,$	$(G * H)(f)\,$	轉換8的頻域對應。

[編輯]平方可積函數

	時域訊號	角頻率表示的傅立葉轉換	弧頻率表示的傅立葉轉換	註釋
	$g(t)\!\equiv\!$ $\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\!\!G(\omega) e^{i \omega t} \mathrm{d} \omega \,$	$G(\omega)\!\equiv\!$ $\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\!\!g(t) e^{-i \omega t} \mathrm{d}t \,$	$G(f)\!\equiv$ $\int_{-\infty}^{\infty}\!\!g(t) e^{-i 2\pi f t} \mathrm{d}t \,$
10	$\mathrm{rect}(a t) \,$	$\frac{1}{\sqrt{2 \pi a^2}}\cdot \mathrm{sinc}\left(\frac{\omega}{2\pi a}\right)$	$\frac{1}{\|a\|}\cdot \mathrm{sinc}\left(\frac{f}{a}\right)$	矩形脈衝和歸一化的sinc函數
11	$\mathrm{sinc}(a t)\,$	$\frac{1}{\sqrt{2\pi a^2}}\cdot \mathrm{rect}\left(\frac{\omega}{2 \pi a}\right)$	$\frac{1}{\|a\|}\cdot \mathrm{rect}\left(\frac{f}{a} \right)\,$	轉換10的頻域對應。矩形函數是理想的低通濾波器，sinc函數是這類濾波器對反因果衝擊的響應。
12	$\mathrm{sinc}^2 (a t) \,$	$\frac{1}{\sqrt{2\pi a^2}}\cdot \mathrm{tri} \left( \frac{\omega}{2\pi a} \right)$	$\frac{1}{\|a\|}\cdot \mathrm{tri} \left( \frac{f}{a} \right)$	tri 是三角形函數
13	$\mathrm{tri} (a t) \,$	$\frac{1}{\sqrt{2\pi a^2}} \cdot \mathrm{sinc}^2 \left( \frac{\omega}{2\pi a} \right)$	$\frac{1}{\|a\|}\cdot \mathrm{sinc}^2 \left( \frac{f}{a} \right) \,$	轉換12的頻域對應
14	$e^{-\alpha t^2}\,$	$\frac{1}{\sqrt{2 \alpha}}\cdot e^{-\frac{\omega^2}{4 \alpha}}$	$\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\cdot e^{-\frac{(\pi f)^2}{\alpha}}$	高斯函數 $exp( - α t 2)$ 的傅立葉轉換是他本身. 只有當 $Re(α) > 0$ 時，這是可積的。
15	$e^{iat^2} = \left. e^{-\alpha t^2}\right\|_{\alpha = -i a} \,$	$\frac{1}{\sqrt{2 a}} \cdot e^{-i \left(\frac{\omega^2}{4 a} -\frac{\pi}{4}\right)}$	$\sqrt{\frac{\pi}{a}} \cdot e^{-i \left(\frac{\pi^2 f^2}{a} -\frac{\pi}{4}\right)}$	光學領域應用較多
16	$\cos ( a t^2 ) \,$	$\frac{1}{\sqrt{2 a}} \cos \left( \frac{\omega^2}{4 a} - \frac{\pi}{4} \right)$	$\sqrt{\frac{\pi}{a}} \cos \left( \frac{\pi^2 f^2}{a} - \frac{\pi}{4} \right)$
17	$\sin ( a t^2 ) \,$	$\frac{-1}{\sqrt{2 a}} \sin \left( \frac{\omega^2}{4 a} - \frac{\pi}{4} \right)$	$- \sqrt{\frac{\pi}{a}} \sin \left( \frac{\pi^2 f^2}{a} - \frac{\pi}{4} \right)$
18	$\mathrm{e}^{-a\|t\|} \,$	$\sqrt{\frac{2}{\pi}} \cdot \frac{a}{a^2 + \omega^2}$	$\frac{2 a}{a^2 + 4 \pi^2 f^2}$	a>0
19	$\frac{1}{\sqrt{\|t\|}} \,$	$\frac{1}{\sqrt{\|\omega\|}}$	$\frac{1}{\sqrt{\|f\|}}$	轉換本身就是一個公式
20	$J_0 (t)\,$	$\sqrt{\frac{2}{\pi}} \cdot \frac{\mathrm{rect} \left( \frac{\omega}{2} \right)}{\sqrt{1 - \omega^2}}$	$\frac{2\cdot \mathrm{rect} (\pi f)}{\sqrt{1 - 4 \pi^2 f^2}}$	J₀(t) 是0階第一類貝索函數。
21	$J_n (t) \,$	$\sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{ (-i)^n T_n (\omega) \mathrm{rect} \left( \frac{\omega}{2} \right)}{\sqrt{1 - \omega^2}}$	$\frac{2 (-i)^n T_n (2 \pi f) \mathrm{rect} (\pi f)}{\sqrt{1 - 4 \pi^2 f^2}}$	上一個轉換的推廣形式; T_n (t)是第一類切比雪夫多項式。
22	$\frac{J_n (t)}{t} \,$	$\sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{i}{n} (-i)^n \cdot U_{n-1} (\omega)\,$ $\cdot \ \sqrt{1 - \omega^2} \mathrm{rect} \left( \frac{\omega}{2} \right)$	$\frac{2 \mathrm{i}}{n} (-i)^n \cdot U_{n-1} (2 \pi f)\,$ $\cdot \ \sqrt{1 - 4 \pi^2 f^2} \mathrm{rect} ( \pi f )$	U_n (t)是第二類切比雪夫多項式。

[編輯]分佈

	時域訊號	角頻率表示的傅立葉轉換	弧頻率表示的傅立葉轉換	註釋
	$g(t)\!\equiv\!$ $\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\!\!G(\omega) e^{i \omega t} d \omega \,$	$G(\omega)\!\equiv\!$ $\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\!\!g(t) e^{-i \omega t} dt \,$	$G(f)\!\equiv$ $\int_{-\infty}^{\infty}\!\!g(t) e^{-i 2\pi f t} dt \,$
23	$1\,$	$\sqrt{2\pi}\cdot \delta(\omega)\,$	$\delta(f)\,$	$δ(ω)$ 代表狄拉克δ函數分佈. 這個轉換展示了狄拉克δ函數的重要性：該函數是常函數的傅立葉轉換
24	$\delta(t)\,$	$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,$	$1\,$	轉換23的頻域對應
25	$e^{i a t}\,$	$\sqrt{2 \pi}\cdot \delta(\omega - a)\,$	$\delta(f - \frac{a}{2\pi})\,$	由轉換3和24得到.
26	$\cos (a t)\,$	$\sqrt{2 \pi} \frac{\delta(\omega\!-\!a)\!+\!\delta(\omega\!+\!a)}{2}\,$	$\frac{\delta(f\!-\!\begin{matrix}\frac{a}{2\pi}\end{matrix})\!+\!\delta(f\!+\!\begin{matrix}\frac{a}{2\pi}\end{matrix})}{2}\,$	由轉換1和25得到，應用了尤拉公式: $cos(a t) = (e i a t + e - i a t) / 2.$
27	$\sin( at)\,$	$\sqrt{2 \pi}\frac{\delta(\omega\!-\!a)\!-\!\delta(\omega\!+\!a)}{2i}\,$	$\frac{\delta(f\!-\!\begin{matrix}\frac{a}{2\pi}\end{matrix})\!-\!\delta(f\!+\!\begin{matrix}\frac{a}{2\pi}\end{matrix})}{2i}\,$	由轉換1和25得到
28	$t^n\,$	$i^n \sqrt{2\pi} \delta^{(n)} (\omega)\,$	$\left(\frac{i}{2\pi}\right)^n \delta^{(n)} (f)\,$	這裏, $n$ 是一個自然數. $δ (n) (ω)$ 是狄拉克δ函數分佈的 $n$ 階微分。這個轉換是根據轉換7和24得到的。將此轉換與1結合使用，我們可以轉換所有多項式。
29	$\frac{1}{t}\,$	$-i\sqrt{\frac{\pi}{2}}\sgn(\omega)\,$	$-i\pi\cdot \sgn(f)\,$	此處 $sgn(ω)$ 為符號函數；注意此轉換與轉換7和24是一致的.
30	$\frac{1}{t^n}\,$	$-i \begin{matrix} \sqrt{\frac{\pi}{2}}\cdot \frac{(-i\omega)^{n-1}}{(n-1)!}\end{matrix} \sgn(\omega)\,$	$-i\pi \begin{matrix} \frac{(-i 2\pi f)^{n-1}}{(n-1)!}\end{matrix} \sgn(f)\,$	轉換29的推廣.
31	$\sgn(t)\,$	$\sqrt{\frac{2}{\pi}}\cdot \frac{1}{i\ \omega }\,$	$\frac{1}{i\pi f}\,$	轉換29的頻域對應.
32	$u(t) \,$	$\sqrt{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{1}{i \pi \omega} + \delta(\omega)\right)\,$	$\frac{1}{2}\left(\frac{1}{i \pi f} + \delta(f)\right)\,$	此處 $u (t)$ 是單位階躍函數; 此轉換根據轉換1和31得到.
33	$e^{- a t} u(t) \,$	$\frac{1}{\sqrt{2 \pi} (a + i \omega)}$	$\frac{1}{a + i 2 \pi f}$	$u (t)$ 是單位階躍函數，且 $a > 0$ .
34	$\sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta (t - n T) \,$	$\begin{matrix} \frac{\sqrt{2\pi }}{T}\end{matrix} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta \left( \omega -k \begin{matrix} \frac{2\pi }{T}\end{matrix} \right)\,$	$\frac{1}{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta \left( f -\frac{k }{T}\right) \,$	狄拉克梳狀函數——有助於解釋或理解從連續到離散時間的轉變.

[編輯]二維函數

時域訊號	角頻率表示的傅立葉轉換	弧頻率表示的傅立葉轉換	註釋
$\mathrm{exp}\left[-\pi\left(a^2x^2+b^2y^2\right)\right]$		$\frac{1}{\|ab\|} \exp\left[-\pi\left(\frac{f^2_x}{a^2} + \frac{f^2_y}{b^2}\right)\right]$	兩個函數都是高斯bumps, 而且可能都沒有單位體積.
$\mathrm{circ}(\sqrt{x^2+y^2})$		$\frac{J_1\left[2 \pi f_r\right]}{f_r}$	此圓有單位半徑，如果把 circ(t) 認作階梯函數 u(1-t); Airy 分佈用 J₁ (1階第一類貝索函數)表達; f_r是頻率向量的量值{f_x,f_y}.

[編輯]三維函數

時域訊號	角頻率表示的傅立葉轉換	弧頻率表示的傅立葉轉換	註釋
$\mathrm{circ}(\sqrt{x^2+y^2+z^2})$		$4 \pi \frac{\sin[2 \pi f_r] - 2 \pi f_r \cos[2 \pi f_r]}{(2 \pi f_r)^3}$	此球有單位半徑；f_r是頻率向量的量值{f_x,f_y,f_z}.

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